Combien de triangles vois-tu

Il n'y a rien de tel qu'un problème mathématique exaspérant, illusion d'optique époustouflante, ou puzzle logique sinueux pour arrêter toute productivité dans le Mécanique populaire Bureau. Nous sommes des gens curieux par nature, mais nous partageons également collectivement une insistance obstinée à dire que nous sommes à droite, bon sang, et nous avons donc tendance à jeter le travail au bord du chemin chaque fois que nous rencontrons un problème avec plusieurs solutions apparemment possibles.

Ce casse-tête triangle n'est pas nouveau - criez à Popsugar pour le déterrer il y a quelques années, mais sur la base d'une magie Internet louche, le tweet ci-dessous est réapparu dans mon flux aujourd'hui et a lancé un nouveau débat sur l'ensemble de notre personnel Slack channel, un endroit traditionnellement réservé aux idées d'ateliers, mais plutôt utilisé pour crier sur d'autres choses que nous transformons parfois contenu.

Parce que je suis masochiste, j'ai à nouveau dessiné le triangle et demandé à tous les membres du personnel de laisser tomber rapidement ce qu'ils faisaient et d'essayer de résoudre la question simple: combien de triangles pouvez-vous trouver?

Je vais vous épargner toute la conversation - croyez-moi, personne ne veut voir cela - mais les réponses de l'équipe ont varié partout. Certains éditeurs ont vu quatre triangles. D'autres en ont vu 12. Quelques-uns en ont vu 6, 16, 22. Encore plus vu 18. Un sage a compté les triangles dans les A dans la question elle-même, tandis qu'un autre semblait avoir une existence crise: "Aucune de ces lignes n'est vraiment droite, juste des courbes - vous ne pouvez donc pas définir l'une d'elles comme un triangle", a-t-il m'a dit. «Il n'y a pas de triangles sur cette photo. La vie n'a pas de sens. "

Nous avons ensuite posé le problème à nos abonnés Instagram, dont les réponses ont également couvert toute la gamme, de 5 à 14 à 37. Bien que nous reconnaissions la forte probabilité de pêche à la traîne ici, il est clair que les gens réagissent au problème de différentes manières.

J'aurais pu écouter mes collègues expliquer leur processus douteux toute la journée, mais à la place, j'ai contacté plusieurs experts en géométrie pour voir si nous pouvions arriver à une réponse consensuelle. Il s'avère que pratiquement tous les mathématiciens que j'ai contactés ont trouvé la même solution, mais ils ne l'ont pas tous compris de la même manière.

Si vous ne voulez pas encore connaître la réponse, arrêtez de lire et essayez d'abord de résoudre le problème. Je te retrouve ici quand tu auras fini.

Hé, c'était rapide. Prêt pour la réponse? Contrairement à certains problèmes mathématiques viraux qui sont délibérément vagues et ouverts à l'interprétation, celui-ci a en fait une solution slam-dunk, sans aucun doute, et c'est 18. Écoutons certains experts en géométrie vous expliquer pourquoi.

«J'aborderais cela comme on aborde n'importe quel problème mathématique: le réduire et trouver une structure», explique Sylvester Eriksson-Bique, Ph. D., boursier postdoctoral à l'Université de Californie à Los Angeles département.

La seule façon de former des triangles dans la figure que j'ai dessinée, dit Erikkson-Bisque, est si le sommet supérieur (coin) fait partie du triangle. La base du triangle devra alors être l'un des trois niveaux ci-dessous. «Il y a trois niveaux, et sur chacun, vous pouvez choisir une base parmi six façons différentes. Cela donne 18 ou 3 fois 6 triangles. "

Regardons à nouveau le triangle principal.

"Il est commode de généraliser au cas où il y a n les lignes passant par le sommet supérieur, et p lignes horizontales », explique Francis Bonahon, Ph. D., professeur de mathématiques à l'Université de Californie du Sud.

Dans notre cas, n = 4 et p = 3. Tout triangle que nous trouvons dans le dessin doit avoir un sommet supérieur et deux autres sur la même ligne horizontale, donc pour chaque ligne horizontale, le nombre de triangles avec deux sommets sur cette ligne est égal au nombre de façons dont nous pouvons choisir ces sommets, dit Bonahon - à savoir le nombre de façons dont nous pouvons choisir deux points distincts sur n, ou "n choisissez 2. "

Rappelez-vous les mathématiques au secondaire? C'est n(n-1)/2. Et comme il y a p lignes horizontales, dit Bonahan, cela donne p n(n-1) / 2 triangles possibles. Dans notre cas, c'est 3x4 (4-1) / 2 = 18.

Voici une ventilation pratique de la façon de trouver chaque triangle possible:

Johanna Mangahas, Ph. D., professeure adjointe de mathématiques à l'Université de Buffalo, est également arrivée à 18 ans - d'abord grâce à un simple comptage de force brute, puis à travers le même astucieux combinatoire que ci-dessus, mais admet que notre teaser de cerveau triangulaire n'est pas aussi cool que celui de Po-Shen Loh, Ph. D., professeur de mathématiques à l'Université Carnegie Mellon à Pittsburgh, as présenté dans le New York Timesl'année dernière:

Celui-ci a une réponse mathématique plus lisse, dit-elle, car ici, compter des triangles est la même chose que compter des combinaisons de trois lignes choisies sur six [6-choisir-3 = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1)].

"Dans ce cas, chaque paire de lignes se croise et il n'y a pas de triple ou plus d'intersections, donc tout choix de trois donne toujours un triangle", explique Mangahas. Dans l'image que je lui ai envoyée, certaines lignes sont parallèles, donc elles ne peuvent pas faire partie du même triangle. "Si vous preniez les mêmes sept lignes et les secouiez un peu, probablement elles seraient très probablement atterrir comme le problème de [Loh] et vous auriez plus de triangles et une réponse mignonne similaire. "(Pour mémoire: 35.)

Ouf. Je n'ai pas encore partagé ce nouveau problème de triangle avec mes collègues. Mais ce n'est qu'une question de temps avant qu'ils ne le découvrent - et argumentent encore plus.

🚨MISE À JOUR IMPORTANTE 1/30/20🚨: Depuis la publication de cette histoire, beaucoup, beaucoup les lecteurs ont tendu la main pour me faire savoir que si 18 est effectivement une réponse acceptable à ce problème, ce n'est pas le seulement un, en raison d'une oubli involontaire de ma part. J'aurais pu rendre cela beaucoup plus facile pour les lecteurs - et, surtout, beaucoup plus facile pour ma boîte de réception - si je venais d'esquisser le triangle sur du papier blanc ordinaire. Mais non.

J'ai malheureusement dessiné ce triangle sur du papier ligné, et beaucoup de gens intelligents ont correctement souligné que, eh bien, réellement, si vous comptez les lignes parallèles bleu clair dans l'image en plus des lignes bleu foncé écrites dans le marqueur, il y a en fait plus de 18 triangles au total, considérablement plus. Je n'ai jamais spécifié d'utiliser uniquement ces lignes bleu foncé, et donc, je me trompe. Tu as raison.

Un lecteur, Ralph Linsangan, m'a totalement appartenu en envoyant cette image, dans laquelle il marque chaque triangle supplémentaire trouvé sous la technicité, marquant 17 triangles supplémentaires pour un total de 35. Voir:

Ce genre de dévouement n'est qu'une des nombreuses raisons que j'aime Mécanique populaire lecteurs. Nous ne pouvons rien vous faire oublier. Jusqu'au prochain teaser!

🚨ENCORE UNE AUTRE MISE À JOUR DU TRIANGLE 1/31 / 20🚨: Depuis la publication de la dernière mise à jour, j'ai entendu plus de toi, en continuant à me réprimander - et à vos collègues lecteurs - de ne pas envisager d'autres triangles possibles. Écoutons le lecteur Derek Schneider, qui a envoyé un autre graphique suggérant qu'il y a 45 triangles.

Si nous suivons les règles d'origine cependant, je compte et 9 supplémentaires qui sont définis (en vert) et un qui pourrait être ouvert à l'interprétation en fonction de la façon dont vous placez visuellement le sommet supérieur (en violet)… Je compte personnellement il.

Le lecteur Poingly, quant à lui, a écrit pour dire que nous avions fait une "grave erreur" en comptant les triangles depuis le début:

Prenez le coin inférieur droit, par exemple, il montre une flèche pour un triangle. Cependant, ces lignes bleu clair pourraient en théorie former autant que TROIS triangles dans ce seul coin:

Tandis que certains de ceux-ci PEUVENT être quelque peu discutables (c.-à-d., Où EXACTEMENT les lignes bleu clair croisent les sombres et ils forment techniquement un triangle ou un quadrilatère), j'ai compté SEPT triangles SUPPLÉMENTAIRES qui peuvent être faits dans ce façon. Cela porte le nombre total de triangles à 42.
La mauvaise nouvelle est que nous avons manqué quelques triangles. La bonne nouvelle est que cela confirme que la vie a clairement un sens, comme en témoigne le nombre exact: 42.

Point exceptionnel, Poingly. Le lecteur James Goodrich est allé encore plus loin, suggérant que nous ouvrions nos esprits pour réfléchir à ce qu'un triangle pourrait être:

Eh bien, selon votre lecteur, qui a souligné 17 triangles supplémentaires (en utilisant le "Andrew n'a pas préciser quelles lignes peuvent comprendre les 3 arêtes d'un triangle "clause), n'a pas réussi à trouver clairement beaucoup plus. Prenons, par exemple, le mini-triangle en bas à gauche de l'addenda "Mise à jour importante" du 30 janvier 2020. Les zones du mini-triangle et la zone du losange qui lui est adjacente ne constitueraient-elles pas un autre triangle?

Une autre idée à considérer: les triangles ont 3 angles (qui aurait deviné?); cependant, je postulerais que la façon dont vous décrivez un triangle, au moyen desdits angles, générerait des triangles différents. Étant donné un triangle T, avec les sommets A, B et C, t-one pourrait en effet être décrit par ABC, B étant l'angle central. Je suggère que le t-deux, décrit par BAC, est différent. De même pour BCA.

Si nous prenons ensuite un cas particulier, les triangles à angle droit, nous pouvons dériver des fonctions sinus, cosinus et tangentes (SOH, CAH, TOA). Si nous appliquions cela au triangle (et assouplissons l'exigence d'angle droit, cela pourrait signifier que BAC est différent de CAB. Bien entendu, des exceptions sont faites pour les triangles isoscolais et équilatéraux (ces derniers n'auraient que 3 définitions de triangle distinctes).

Je n'ai pas tout à fait pensé à la façon de quantifier chaque suggestion (et appliquer la dernière après la première augmenterait le nombre encore), donc je n'ai pas de numéro facile à utiliser dans une mise à jour importante mise à jour (si vous avez trouvé mes idées intéressantes à mise à jour).

Je l'ai fait, James. Et j'attendrai. À contrecœur, j'ai décidé de tenter une dernière fois de déterminer combien de triangles supplémentaires il pourrait y avoir pour nos nouvelles règles chaotiques, et je suis arrivé à 43, pour un total de 61:

Je suis tout à fait sûr, cependant, que quelqu'un lisant ceci me dira très rapidement que je me trompe encore et fournira une preuve de triangles encore plus cachés, m'envoyant dans un autre trou de lapin sur le long et sinueux chemin vers l'éventuel folie. (Note: je n'ai pas vu ma femme depuis trois jours. Veuillez lui dire que je l'aime.) Je lance donc un dernier défi: Si vous pouvez trouver le plus de triangles possible dans l'image originale, montrez-moi votre travail et prouvez définitivement votre suprématie, je mettrai à jour cette histoire une dernière fois et vous couronnerai le roi ou la reine du triangle, maintenant et pour toujours. Godspeed.